Fractais e Bonsai

Uma  jornada pela dimensão oculta.

Pode-se encontrá-lo nas florestas, nos avanços de pesquisas médicas, nos filmes e em todo o mundo da comunicação wireless. Um dos maiores segredos de designs da natureza. Ele tem um formato estranho sobre o qual não ouvimos nada, mas está em todo lugar à nossa volta. Esta forma é chamada fractal. 

Árvore representando um crescimento fractal.

Os fractais estão em toda biologia e é a estrutura que a seleção natural criou repetidamente na natureza. Os fractais estão em nossos pulmões, vasos sanguíneos, árvores, flores, montanhas, nuvens, galáxias, sistemas climáticos e até no ritmo do coração que é a essência da vida. A chave da geometria fractal  escapou a todos até que o seu descobridor, o matemático Benoit Manbelbrot, dissesse: “ Esta é a maneira de se olhar para as coisas que estão a nossa volta”.

Se você olha para a superfície vê complexidade, e parece, em um olhar superficial, não ser matemático. O que Mandelbrot disse foi: “pensar não no que se vê, mas no que foi necessário para criar o que está se vendo”. Na criação da natureza é necessária a repetição infinita e isso traz uma das características que definem um fractal, o que os matemáticos chamam de autossemelhança.

Antes de falar de Fractais e Bonsai, vou começar a matéria com um foco diferente, explicando como o fractal foi usado na minha área de trabalho, que é a direção de cena e o cinema.

Os Fractais e a computação gráfica no cinema.

Os mesmo princípio de design de fractais transformaram completamente a mágica dos efeitos especiais. Em 1978, na Boeing Aicraft em Seatle, engenheiros projetavam aviões e entre eles estava Loren Carpenter, hoje um dos diretores de animação da Pixar Animation Studios. Ele estava ajudando a visualizar como aviões ficam durante o voo usando computação gráfica na elaboração de paisagens 3D.

Ele queria colocar os aviões com montanhas no fundo, pois toda publicidade da Boeings tinha uma grande montanha atrás. Na época ele não tinha como, pois uma montanha têm milhões e milhões de pequenos triângulos ou polígonos, e eles já tinham problemas de cálculo usando apenas algumas centenas e não tendo um resultado natural no seu visual. Loren não queria fazer uma montanha qualquer, ele queria fazer uma paisagem pela qual aviões pudessem realmente voar. Mas não havia como fazer isso com as técnicas de animação existentes.

Mas Loren Carpenter encontrou, em 1978, um livro que mudaria sua vida, o trabalho publicado de Benoit Mandelbrot: “ Objetos Fractais, Formas, Acaso e Dimensão” . O livro tratava de formas fractais na natureza. Em seu livro, Manbelbrot dizia que muitas formas na natureza podem ser descritas matematicamente como fractais: uma palavra que ele inventou para definir formas que pareciam, denteadas e quebradas. Ele dizia que se pode criar um fractal pegando uma figura e partindo-a em pedaços, repetidas vezes. Carpenter decidiu que tentaria fazer isso em seu computador. Em 3 dias ele estava produzindo imagens de montanhas em seu computador. Ele estava usando a repetição infinita, o que os matemáticos chamam de interação, que é uma das chaves da geometria fractal. A superfície de uma montanha pode ser modelada num computador usando uma fractal: começamos com um triângulo no espaço 3D; acham-se os pontos centrais das 3 linhas que formam o triângulo e criam-se 4 novos triângulos a partir desse triângulo. Deslocam-se depois aleatoriamente esses pontos centrais para cima ou para baixo dentro de uma gama de valores estabelecidos. Vai-se repetindo o mesmo procedimento, mas fazendo os deslocamentos dos pontos centrais dentro de uma gama de valores que em cada interação é igual à metade da anterior.

Com os fractais Carpenter abriu a porta para um novo mundo de criação de imagens em computação gráfica e saiu da Boing para trabalhar na Lucasfilm onde, em vez de fazer montanhas, criou um novo planeta para o filme “Jornada nas estrelas II, A Ira de Khan”. Foi a primeira sequência criada por computador em um filme futurista.

Bonsai e os fractais na natureza.

Quando estamos modelando um bonsai após definir um estilo, buscamos na nossa lembrança  formas, texturas, padrões que tornem a estrutura do bonsai a representação em miniatura de uma árvore de grande porte. Para que um bonsai tenha as características de uma árvore milenar, muitas regras e conceitos tem que ser observados, e uma dessas regras são os fractais.

Abaixo um trabalho com Pithecolobium tortum. Procuro sempre buscar com a aramação as ondulações e bifucarções de forma natural. Esta é uma espécie que na restinga retorce muito seus galhos e os troncos. Na foto acima uma árvore de espécie diferente em silhueta, mas com o mesmo padrão de movimento. Você vai ver à frente que isto é uma característica fractal.

 Para cultivar um bonsai é necessário compreender como uma árvore cresce, como ela ao longo dos anos assume sua forma na naturza. O crescimento em espiral das folhas segue uma regra matemática. O crescimento e ramificações dos galhos também. Esses padrões que criam harmonia e beleza são os  fractais.

Clique em leia mais e siga lendo toda matéria sobre os fractais:

 

Um olhar para a dimensão oculta:

A geometria fractal foi descoberta pelo matemático francês nascido na Polônia, Benoite Mandelbrot, na década de 1970. Mondelbrot cunhou o termo “fractal” com base na palavra latina fractus (quebrado), para ressaltar a natureza fragmentada e irregular dessas formas. Desde os 14 anos Mandelbrot gostava da matemática ligada à geometria.Mandelbrot pensava em formas geométricas e as equações que relacionadas a elas.

Monstros

Em 1958 Benoit Mandelbrot foi trabalhar como engenheiro matemático na IBM. As telecomunicações deram um pulo de quilômetros quando a forma fractal foi usada para solucionar o tamanho das antenas de recepcão. Os engenheiros da IBM estavam transmitindo dados de computador por linhas telefônicas, mas às vezes a informação não chegava. Eles perceberam que as linhas ficavam com ruídos e ocorriam muitos erros.

Mandelbrot colocou em gráficos os dados com ruídos e o que ele viu o supreendeu. Independente do tempo, o gráfico parecia similar: um dia, uma hora, um segundo…. não importava o tempo, eram sempre iguais.

Este mistério o intrigou e o lembrou de um mistério matemático de quase 100 anos, o mistério dos “MONSTROS”.

Desenho que mostra o desenvolvimento fractal  “A curva de Koch”.

A história realmente começa no final do século 19. Matemáticos haviam feito uma descrição formal de como uma curva deveria ser. Mas, dentro desta descrição, havia muitas outras coisas que não eram observadas. Estas formas eram tão estranhas que não se podia desenhá-las, eram consideradas “monstros” ou “coisas além do domínio”.

Não são quadrados, triângulos, não são círculos. São formas muito estranhas. O matemático alemão Gerg Cantor criou os primeiros monstros em 1883.

Ele pegou uma linha reta e disse:

“Vou parti-la em três partes e vou apagar a do meio. Então, temos uma linha de cada lado. E agora vou pegar as duas linhas, pari-las de novo, e fazer isso repetidas vezes.”

Hoje, só se pode medir com perfeição um continente devido à geometria fractal.

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Benoite Maldelbrot, utilizando os mais modernos computadores na IBM, partiu para resolver um problema que teria sido abordado pelo matemático Gaston Julia.

Gaston Julia estava observando o que acontece quando você pega uma simples equação e repete a equação utilizando o seu resultado. Isso significa que você pega um número e o coloca na fórmula original substituindo um número. Você continua fazendo repetidamente para estabelecer um padrão matemático, um conjunto.

Mas a pergunta era o que acontece se você faz centenas, milhares, milhões bilhões de vezes? O número, a fórmula, se chama Conjunto de Julia. Houve muitas tentativas de desenhar o conjunto, muita aritmética calculada a mão e muitos pontos desenhados em papel quadriculado.

Mas seria preciso repetir centenas, milhares de vezes, o desenvolvimento dessa nova matemática. Isso não era possível de executar sem computadores mais velozes e modernos.

Na IBM Mandelbrot fez algo que Julia nunca poderia fazer: usar um supercomputador para fazer as equações milhões de vezes. Ele transformou os números de Julia em pontos em um gráfico. E em 1980 nasceu a equação que combinava os Conjuntos de Gaston Julia ( f (z)=z2+C ) em apenas uma imagem. Esta imagem é hoje o símbolo da geometria fractal.

O Conjunto de Mandelbrot.

Uma subdivisão do Conjunto de Mandelbrot.

 Detalhe do Conjunto.

Detalhe do Conjunto.

 Abaixo foto do cefalópode Nautilus. Ele é matemáticamente idêntico à forma que observamos no Conjunto de Mandelbrot. O incrível é que esta forma é representada também pela equação áurea de Leonardo Pisanni, ” Fibonaci”.

A ramificação dos galhos nas árvores. 

Quando estou aramando e dando forma a uma copa de um bonsai, tento ao máximo representar este padrão geométrico que se apresenta de forma natural, mas com um padrão diferente em cada espécie de planta. Algumas árvores possuem galhos sempre com estruturas curvas e retorcidas, outras apresentam crescimento de galhos sempre com ângulos retos. Estas são situações da genética de cada espécie, mas que podem sofrer mudanças ao longo de sua vida pelas ações da natureza como vento, umidade, solo e altitude. Os fractais têm autossimilaridade, isto é, um aspecto semelhante sob qualquer ampliação. Uma pequena parte da estrutura é bastante semelhante ao todo.  

Existem dois tipos de autossimilaridade, a exata e a estatística. No galho de árvore representado acima, este apresenta uma repetição exata dos padrões em diferentes ampliações. Galho de Bonsai. (foto 1A)

No caso do galho de bonsai  acima, os padrões não se repetem com  exatidão; em vez disso, as qualidades estatísticas dos padrões é que se repetem. A maioria dos padrões existentes na natureza obedece à autossimilaridade estatística. 

Acima foto invertida de uma árvore de grande porte na natureza, seguindo o mesmo padrão do galho de bonsai da foto 1A.  Abaixo a mesma árvore na natureza.

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Uma árvore na floresta.

As florestas tropicais tem um papel vital para regular o clima da terra, removendo o dióxido de carbono da atmosfera. Se olhar para a floresta, ela basicamente respira. E se entendermos a quantidade de dióxido de carbono que está vindo para essas árvores nesta floresta, podemos entender melhor e completamente como ela regula o total dióxido de carbono em nossa atmosfera.

A geometria fractal pode responder essa questão? Sim.

Se soubermos a quantidade de dióxido de carbono que uma folha pode absorver com a regra de ramificação fractal, podemos saber quanto dióxido de carbono a árvore está absorvendo e consequentemente uma floresta inteira. Em uma floresta, mesmo com centenas, milhares de espécies diferentes, o padrão de crescimento do conjunto se comporta como um pulmão único, respondendo a um padrão único de crescimento. Esta estrutura que o homem está destruindo a cada dia é responsável pela diminuição do aquecimento global.

Observamos o padrão de desenho e forma fractal do pequeno galho acima se repetindo no mar entrando pelo continente, em um pulmão ou em um raio caindo em direção a terra.

Quando estamos seguindo as regras tradicionais de triângulação para buscar harmonia na forma do nosso bonsai, estamos tentando recriar matemáticamente também as formas e padrões de crescimento encontrados nas árvores e em todas as plantas.

      Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. A seguir, a curva de Koch ou curva do floco de neve que se aplica também na estrutura do Bróccolis romanesco.

Árvores e samanbaias são pseudo-fractais naturais. Esta propriedade fractal está clara nestes exemplos: num ramo de árvore ou na folhagem de uma samambaia, pode ser observada uma réplica não idêntica, porém semelhante na estrutura da miniatura de um todo.

Um fractal é um objeto que possui uma estrutura não trivial em toda as escalas. Um objeto que tenha a propriedade de autossemelhança exata mediante reescalonamento, é um fractal. Outros fractais têm esta propriedade apenas de uma maneira aproximada. Nestes casos, uma porção aumentada do objeto total tem a mesma estrutura ou similar, mas não é uma réplica exata deste.  Quando estou fazendo um Penjing (paisagem em miniatura) procuro encontrar pedras e rochas de vários tamanhos mas com as  mesmas ranhuras e padrões de desenho. Se você observar uma montanha na natureza, uma pequena área  é igual a montanha como um todo. Quando estou modelando concreto celular para fazer uma montanha, procuro seguir o padrão das rochas originais que farão parte do trabalho.

Abaixo Penjing a Montanha de Buda. Peça modelada por mim com 5 blocos de concreto celular e texturizada com terra preta, areia e cimento. Altura, 160cm. A superfície de uma montanha pode ser modelada num computador usando uma fractal: começamos com um triângulo no espaço 3D; acham-se os pontos centrais das 3 linhas que formam o triângulo e criam-se 4 novos triângulos a partir desse triângulo. Deslocam-se depois aleatoriamente esses pontos centrais para cima ou para baixo dentro de uma gama de valores estabelecido. Vai-se repetindo o mesmo procedimento mas fazendo os deslocamentos dos pontos centrais dentro de uma gama de valores que em cada interação é igual à metade da anterior.

   

Muito antes de começar a me dedicar ao cultivo do bonsai, a minha paixão por conchas e caramujos me levou a observar e estudar suas formas, cores e desenhos. Os padrões de crescimento dos caramujos são uma respresentação de beleza fractal.

Fractais e a energia dos seres vivos.

Por que animais de grande porte se utilizam da energia de forma mais eficiente que os de menor porte? Esta é uma pergunta que fascina os biólogos James Brow e Brian Enquist e o físico Geofrey West. Há uma extraordinária economia de escala conforme você aumenta de tamanho.

Um elefante, por exemplo, é 200 mil vezes mais pesado que um rato. Mas utiliza só 10 mil vezes mais energia na forma de calorias que consome. Quanto maior você for, menos você precisa de energia por grama de tecido para se manter vivo. Isso é um fato incrível. E ainda mais incrível é o fato de que essa relação entre massa e uso de energia de qualquer criatura viva é administrada por uma fórmula matemática exata ( E=M ¾ ).

Essa é uma formula universal que rege desde as menores bactérias até as baleias azuis ou as grandes árvores sequoias. Toda forma de vida é sustentada por esta forma de ramificação fractal que otimiza a utilização de energia, otimiza a forma que o oxigênio, sistema neural, nutrientes são enviados pelo corpo vivo.

As batidas do coração.

As batidas do coração não são uma constantem como pensava Galileu Galilei, que mediu suas batidas sincronizando com um pêndulo. As batidas do coração atendem a uma equação fractal e possuem uma variação durante um ciclo que se repete. A equação resultante das batidas é uma equação fractal.

Considerações finais.

O que é absolutamente incrível é que você pode traduzir o que você vê no mundo natural para a linguagem da matemática. A matemática é a nossa única estratégia para compreender a complexidade da natureza. A geometrial fractal nos deu um vocabulário bem maior. E com um vocabulário maior, podemos ler mais do livro da natureza.

A beleza dos fractais está diretamente ligada a outra fórmula matemática, uma equação que foi utilizada pelos maiores gênios da história como Leonardo Da Vinci, Gallileu Galilei e até Stanley Kubrik no filme “2001 Uma Odisséia no Espaço”: a  equação aurea, descoberta por Leonardo Pisani (Fibonaci). O assunto relacionado aos fractais e a equação aurea são tão ricos que possuem blogs e sites detalhados sobre eles. Aqui nesta matéria eu quis apenas dar uma introdução de como podemos olhar para esse conhecimento e relacionar com a arte do bonsai. Leia no link ao lado a matéria que escrevi sobre a equação aurea, ela é um ótimo complemento dos fractais.

Voce pode complementar esta matéria lendo sobre a equação áurea de Fibonaci:   https://aidobonsai.wordpress.com/2009/09/06/a-harmonia-da-solidao/

17 Respostas to “Fractais e Bonsai”

  1. Nilton M. Ribeiro Says:

    Caro amigo Paulo ,infelizmente meus conhecimentos sobre esta nobre arte não chegam a tal patamar eu me considero um cultivador e principalmente hoge um comerciante de bonsai esta materia foge aos meus humildes conhecimentos o que não acontece com vc com certeza um dos grades conhecedores desta arte milenar .
    abraços
    Nilton

  2. Esta descoberta da geometria dos fractais aponta o futuro da linguagem sistêmica e universal entre os povos de todas as nações planetárias.
    Cynthia Esquivel

  3. Muito bem colocado ! Cynthia ! abração

  4. Aido muito interessante essa matéria queria lhe pedir permissão para publicar partes dessa matéria no meu blog e no forum que participo,aguardo resposta.Adorei a matéria parabéns.

  5. Sem problemas, pode publicar toda ! abração Paulo Netto

  6. Muito obrigado abraço.

  7. parabens excelente contextualização, os fractais estão presentes em toda natureza, adoro estuda-los, estou analisando a presença do fractal, no caráter autossimilar, em crescimento de plantas em ambientes ditos excelentes. parabens pelo blog

  8. Obrigado Fábio, volte sempre, um grande abraço.

  9. Eduardo Brandão Says:

    Cheguei aqui procurando uma “fórmula” para podar minha Eugênia” e acabei reencontrando os fractais, que têm como base os números de Fibonacci e a proporção áurea. Como não pensei nisto antes? Muito legal essa matéria!

  10. Olá Paulo, o seu Blog é um dos mais completos e interessantes que eu conheço. Peço sua permissão para publicar o artigo Fractais e Bonsai no meu Blog “ZEIT FRACTALS” endereço http://www.zeitfractals@blogspot.com” ainda em fase inicial. Obrigada. Aparecida

  11. Pode publicar é um prazer ! Obrigado por visitar o blog ! abração

  12. Uma mesma idéia aplicada em diferentes projetos.
    Só a mente de um Projetisa sobrenatural poderia conceber e por em prática algo tão fabuloso.
    As digitais do Criador estão em todo lugar. Não vê quem não quer.

  13. Obrigado por visitar o blog. abração

  14. Olá Paulo,

    Estou fazendo meu trabalho do mestrado sobre fractais. Você pode me informar suas fontes bibliográficas? Parabéns, vc escreve muito bem.

  15. Puxa não lembro, quando fiz a matéria fui pesquisando na Net, e em um dvd que tenho apenas sobre fractais. Vou ver o título dele e te escrevo, pode me cobrar. abraço

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