A equação Áurea de Fibonacci

Uma viajem pela equação Áurea de Fibonacci.

A harmonia da solidão.

Ao olhar uma árvore isolada, em um ambiente em que o seu crescimento não tenha tido nenhuma interferência climática extrema, podemos observar a harmonia de seu movimento e a beleza da sua forma.

árvore isolada.

Os estilos de bonsai retratam todas as formas e estéticas  que as árvores apresentam ao se adaptar à natureza, clima, vento, altitude, temperatura e solo.Os estilos Hokidashi (vassoura), Chokan (ereto formal) e Moyogi (ereto informal) retratam bem essa harmonia.  A solidão de uma árvore num campo aberto traz uma beleza singular; suas formas são leves e simétricas, seu crescimento em todas as direções seguem regras fractais de forma, que podem ser observadas em toda natureza, em um coral, numa semente de girassol,  no movimento de uma onda, na formação geológica de cristais de rocha, na teia de aranha, nos flocos de neve, ou na rotação de uma gigantesca galáxia.

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A equação áurea de Leonardo Pisani

O crescimento de uma planta, assim como tudo na natureza, segue uma regra matemática, que foi primeiramente estudada por Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci. Esta lei é conhecida como “Equação áurea” ou “Retângulo áureo”.

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Retângulo áureo de Fibonacci

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Estrutura do movimento em espiral do Nautilus.

Fibonacci

Leonardo Pisani também conhecido como Fibonacci.

Um dos maiores gênios do cinema, o diretor  Stanley Kubrick, imortalizou o retângulo áureo em seu filme “2001 uma Odisséia no espaço”, escolhendo como a forma que se manifesta nas etapas do conhecimento e evolução do homem. A famosa cena do aparecimento do monolito antes do momento em que os macacos usam o osso de um animal morto como ferramenta, e o osso sendo lançado ao céu se transformando em uma estação espacial, é uma das cenas mais poéticas do cinema.

Cena do filme 2001 uma Odisséia no Espaço.

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Cena do filme 2001 uma Odisséia no Espaço.

O olho humano pode não notar, mas o crescimento de uma planta segue esta regra, seguindo um padrão de crescimento em espiral, como a espiral formada por uma grande furacão ou por um feto dentro do corpo da mãe.

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Furacão observado por satélite.

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Estrutura do movimento espiral de crescimento.

Uma planta em particular, mostra os números da sucessão de Fibonacci nos seus “pontos de crescimento”. Quando a planta tem um novo rebento, leva dois meses a crescer até que as ramificações fiquem sufecientemente fortes. Se a planta ramifica todos os meses, depois disso, no ponto de ramificação, obtemos uma figura semelhante à de baixo:

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Crescimento vegetativo.

Os arranjos das folhas de algumas plantas em torno do caule são números de Fibonacci. Com este arranjo, todas as folhas conseguem apanhar os raios solares de igual forma. Quando chove, o escoamento da água torna-se também mais fácil.Na figura abaixo, podemos contar as folhas, seguindo-as pela ordem que aparecem, até encontrar uma folha exactamente na vertical da primeira.

Na planta do topo contamos três rotações no sentido dos ponteiros do relógio, antes de encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira. Passamos por cinco folhas, até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de duas rotações. Os algarismos 2, 3 e 5 são como vimos, números da sucessão de Fibonacci. Podemos escrever então 3\5 de volta por folha.

Na outra planta, para encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira tem de se fazer cinco rotações no sentido dos ponteiros do relógio . Passamos por oito folhas até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de três rotações. Os algarismos 3, 5 e 8 são como vimos, números da sucessão de Fibonacci. De igual modo podemos escrever 5\8 de volta por folha.

Podemos agora ver alguns exemplos de plantas em que isto acontece:

1\2 olmo, tília, limeira

1\3 faia, aveleira, amora silvestre

2\5 carvalho, cerejeira, macieira, azevinho, ameixieira, cardo-morto

3\8 choupo, álamo, roseira, pereira, salgueiro

5\13 amendoeira

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Espirais de crescimento vegetativo.

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Movimento em espiral de uma galáxia.

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Via Lactea

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Uma gigantesca onda forma matematicamente com precisão os números de ouro.

Meu interesse pela equação áurea é mais antiga do que a paixão pelos bonsais; desde pequeno as conchas e caramujos jogados pelo mar de Itaipuaçu chamaram a minha atenção e comecei a colecioná-los aos 8 anos de idade, após ganhar um livro de classificação de espécies do meu amado bisavô e padrinho,  Herbert Alfred Lepper. Hoje tenho 18.000 espécies diferentes de todo mundo e mais de 45.000 conchas e caramujos.

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Nautilus, esse Cephalopode é capaz de descer há 1000 metros de profundidade, mesmo possuíndo menos de 2 milímetros de espessura nas paredes externas de sua concha. Ele foi a base para o estudo e desenvolvimento do sistema de lastro nos submarinos. Através de câmaras ocas em seu interior, que se enchem de água através do bombeamento que é feito pelo seu corpo. Julio Verne deu o nome de Nautilus ao submarino de 20.000 léguas submarinas em sua homenagem. Um dos maiores submarinos nucleares americanos também recebeu seu nome.

Entre e leia toda matéria sobre a equação áurea:


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Estrutura do movimento em espiral dos caramujos.

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A matemática Áurea na natureza.

Os caramujos quebrados pelas grandes ondas eram interessantes pois traziam espirais perfeitas, formas e estruturas harmoniosas.

Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci a chamava: Divina Proporção e a usou em muitos de seus trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e ter de novo a proporção Áurea. Podemos continuar a explorar tal proporção em várias outras partes do corpo. Artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro) em trabalhos de pintura e arte. Os trabalhos de Seurat e Mondrian mostram estas relações matemáticas.

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Leonardo da Vinci era fascinado pela proporção áurea e a usava em seus quadros. Porquê a monalisa é tão atraente aos olhos, sua boca, mãos seu vestido, obedecem a essas regras matemáticas.

Os antigos arquitetos gregos já utilizavam essa proporção: ela é observada no Parthenon grego de Atenas, monumento que existe até hoje e obedece à proporção áurea da natureza na fachada, laterais e colunas. Pitágoras acreditava que o estudo da proporção áurea revelava os segredos da criação do universo.

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Equação aplicada no Parthenon de Atenas.

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Captéis que adornam o Parthenon grego de Atenas. Até nos detalhes foi seguida a proporção áurea.

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Parthenon grego de Atenas construído seguindo a equação áurea.

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Arquitetura seguindo a proporção Aurea.

A APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO ÁUREA ESTÁ EM TODAS AS ÁREAS ARSTÍSTICAS DA HUMANIDADE

Podemos citar diversos outros exemplos, como a Basílica de São Pedro no Vaticano, o nascimento de Vênus de Sandro Botticelli e obras como as de Salvador Dali, entre milhares de outras.

As Pirâmides de Gizé, no Egito, também foram construídas baseadas na razão de áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro: 1,618

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Pirâmides de Gizé.

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Como explicar que o Vilolino de maior qualidade sonora e mais famoso do mundo tenha sido construído seguindo todas as proporções da equação áurea?

“A matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo” – Galileu Galilei (1554-1642) atrônomo italiano.

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Sequencia de numérica da equação aurea de Fibonaci:  f(N)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…}

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:

1o.termo somado com o 2o.termo gera o 3o.termo

2o.termo somado com o 3o.termo gera o 4o.termo

3o.termo somado com o 4o.termo gera o 5o.termo  e continua ……

Os números de Fibonacci também podem ser vistos na organização das sementes na coroa das flores. À esquerda, encontra-se o diagrama de como o girassol ou uma margarida podem parecer quando aumentados. O centro é marcando com um ponto preto. Pode ver que as sementes parecem formar espirais a curvar tanto para a direita como para a esquerda. Se contar essas espirais que partem da direita, a partir da borda da figura, são 34. Para o outro lado quantas são? Verá que esses dois números são vizinhos na série de Fibonacci.

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Flor de Girassol.

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O mesmo acontece nas sementes reais da natureza. A razão, parece estar na forma da distribuição óptima das sementes, não importando o seu tamanho, mas sim a sua distribuição uniforme , desde que não estejam acumuladas no centro nem demasiado afastadas da margem.

Se contar as espirais perto do centro nas duas direcções, serão ambos números de Fibonacci.

Em baixo estão algumas figuras de 500, 1000 e 5000 sementes.

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Considero que, para aplicação inicial no nosso trabalho com bonsai, mais do que estudar a proporção numérica e as proporções do retângulo áureo, o principal é olhar à nossa volta e procurar os números de Fibobonaci  que estão na estrutura da natureza. O movimento natural gerado pela espiral é muito importante na estética do bonsai. Se observarmos uma árvore varrida pelo vento, seus galhos em todas as direções seguem em moviemntos suaves, para se adaptar e não quebrar.  Se observados os flocos de neve, todos diferem um dos outros, mas o padrão hexagonal básico, com seis faces, é comum a todos eles, o padrão hexagonal segue a equação Áurea.

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Corte horizontal em uma maça.

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Floco de neve.

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Floco de neve.

Proporções áureas do corpo humano estudadas durante anos por Leonardo da Vinci foram imortalizadas no homem Vitruviano e mostram a simetria aplicadas à concepção da beleza humana.
1-A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.2-A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.3-A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.4-A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.5-O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.6-A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.7-A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão.vitruvian

CURIOSIDADE:O uso dos números de Fibonacci na bolsa de valores está baseado nos trabalhos pioneiros de Ralph Nelson ELLIOTT (1871-1948), um analista financeiro norte-americano que estudou o comportamento do índice Dow Jones, da Bolsa de Valores de Nova Iorque, a partir da década de 20 do século passado. Tendo presenciado a quebra da bolsa em 1929 e a Grande Depressão que dela se seguiu, Elliott concluiu que as flutuações da bolsa não eram aleatórias..::. Sua idéia básica é a de que as flutuações da bolsa seguem um padrão de crescimento e decrescimento que podem ser analisados segundo os números de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Assim, as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da seqüência de Fibonacci. Como o próprio Elliott afirma, sua teoria não é capaz de prever com precisão as flutuações da Bolsa, mas de diminuir a probabilidade de riscos. Esta matéria é uma introdução ao universo gigantesco da equação áurea. Pretendo preparar uma matéria com aplicações das regras nos meus trabalhos, pois acho um assunto fascinante e, quanto mais estudo, mais noto a sua grandeza e sua beleza. Quanto mais aguçamos nossa visão para o detalhe, seja olhando um grão de areia ou uma montanha,  mais o conhecimento aproxima nosso espírito do que não podemos tocar.

35 Respostas to “A equação Áurea de Fibonacci”

  1. Jorge Antonio Says:

    Parabens mei rei!!!!!!
    Fazemos bem o que fazemos com carinho, sua preocupação e curiosidade sobre no assunto, certamenrte o levarão a grandes descobertas, que, certamente serão divididas conosco. hehehehehe

  2. Saudade de vc que é o meu eterno mestre! e mais do que nada, foi responsável pelo meu crescimento nesta arte, esse bloog é seu também. Um grande abraço meu irmão de fé e bonsai.

  3. Otima materia Paulo, sua dedicação ao bonsai e ao blog é admiravel,
    è isto aí ,sempre em busca da perfeição.

  4. Adorei o artigo, de fácil compreensão, permitindo aos neófitos ter acesso a um texto de qualidade técnica. Aguardo os próximos artigos (posts)!

  5. Paulo meu amigo, me agrada muito ver você também interessado na “visão do dragão” , conhecida como lei áurea de Fibonacci, me interesso muito por essa teoria prática, digamos assim, caso você tenha algo para dividir em matérias sobre isso e afins, por favor me mande por e-mail daí podemos discutir o assunto, devagar e sempre…

    Abração,
    Fabiano.

  6. Vânia Fortes Says:

    Querido amigo, você alimenta minha curiosidade sobre a natureza e tudo que a cerca. Deus te colocou em nossas vidas, com certeza, com um propósito. Obrigada por você existir.

  7. Obrigado minha amiga, pela força e pelas palavras de carinho, ainda iremos fazer Bonsais juntos! É muito bom saber que o bloog está trazendo coisas boas para a nossa arte. Beijos

  8. boa tarde, meu nome é Helena,gosteide planta bonsai desde que meu filho comprou de uma, pessoa não esplicou como deveria trata-la, hoje sou facinada nesta plantinha,tenho outras plantas desde o começo do nascimento dela,até os troncos retorcidos feito uma árvore antiga,como a minha morreu, procuro cursos, para saber fazer existem ferramenta, para que possa usa-la na confecção da árvores,moro na baixada fluminense em Nilópolis e os cursos que procuro não fazem este curso, dizendo que maltrata muito a planta, mas não entendi vi as ferramenta mas não entendi, peço uma resposta de vc,muito obrigado .
    Helena

  9. Bonsai não é uma técnica que maltrata a planta, isso é história de quem não tem conhecimento nenhum, não sabem o que falam. Bonsai nnao é uma miniatura, é direção de arte, a árvore se desenvolve de forma normal, com flores e frutos no tamanho normal! Não conheço cursos na baixada , mas posso te indicar um na tijuca muito bom, que ocorre nos finais de semana. Te interessa? Abraço!

  10. Você poderia resumir este blog a este post, mas seria injusto com tanta coisa linda que já vi e aprendi aqui. Mas, essa apresentação da lei áurea é de longe o mais rico e inspirador assunto que li aqui e em qualquer lugar nos últimos tempos. Parabéns. Mesmo.

  11. carlospatricio Says:

    na natureza não resta dúvida,mesmo nas coisas mais simples existe evidência de que tudo foi criado por um verdadeiro mestre de obras, que têm uma sabedoria incomparável e que merece nosso respeito e admiração,por tudo que criou e nos deu,e uma verdadeira bobagem dizer que tudo nasceu de uma explosão,explosão não cria mas destroi.simplismente devemos reconhecer o criador sàbio de todas as coisas (Deus).

  12. Obrigado por sua visita ! Feliz 2010

  13. aline rezende shintaku Says:

    meu nome é aline e acho que em um lugar da via lactea tem seres do espaço

  14. Acho que está cheio deles por aí ! rsrsrsrsrsr Um grande abraço, volte sempre ao blog ! feliz 2010

  15. Que maravilha! Ótimo trabalho.
    Acredito que a sensibilidade estética é um dos caminhos para a sabedoria e o desenvolvimento do espírito.
    Três coisas que me provocam epifania. Admirar a proporção áurea, ouvir J. S. Bach e pensar sobre as forças fundamentais da natureza.

    Obrigado
    Neri

  16. Adoro Bach também ! Temos muito em comum. Acho que pensar nas forcas da natureza ajuda a entender o nosso próprio espirito . Grande abraço, volte sempre ao blog.

  17. BOM

  18. Show de materia, uma otima viagem do inicio ao fim.

  19. Olá, o Nautilus é um molusco da classe Cephalopoda, e não Gastropoda como está no texto! Ótimo blog!

  20. De fato, meus parabéns pela materia.
    Por favor, quando completar os estudos sobre o n. áureo, me avise.
    Gostaria de colocar um link para seu site no meu site – em contrução.
    O n. de fibonaci tem tudo a ver com a criatividade da natureza. E precisa passar a ter com a criatividade humana. Seu trabalho é mesmo muito bonito.
    Abr.
    Rui Santo

  21. Oi Raul pode colocar os links que desejar. Obrigado por visitar o blog. Grande abraço

  22. Boa tarde, tudo bem?
    Li toda a sua matéria sobre Fractais e Áurea de Fibonacci e amei. Estou em um processo para iniciação cinetífica e gostaria de saber se tem alguma ideia sobre a relação de destas duas matérias( Fractais e Áurea de Fibonacci) e Computação.
    Desenvolvi um tema sim, mas não interessante o suficiente como os fractais.
    Se puder me ajudar, fiquei imensamente grata.

  23. Eu acho que com a equação Aurea e os Fractais você pode fazer uma analogia e uma co relação, com toda parte de aproveitamento de
    espaço na construção de placas, maquinários e sistemas que necessitem de uma otimização de espaço e volume. E toda sua influência no design. O que acha ? vamos nos falando ! abração

  24. mas qual a relaçao com o bonsai nao entendi ?

  25. Quando você estuda a equação aurea ela ajuda muito a entender as proporções e a triangulação na modelagem dos bonsais.

  26. Formidável esta matéria. Parabéns.

  27. Obrigado por visitar o blog, abraço.

  28. jose francisco rodrigues de melo Says:

    Este assunto é fascinate, encheu-me os olhos de encantamento. Quanta beleza escondida aos olhos dos desatentos! Mas o amor que vibra em mim pelas obras da criação me levam denotá-las. Nota 10. Que as forças que reside dentro do ser o levem as adjascencias do infinito e icognoscível absoluto que nós convencionamos chamar de DEUS.

  29. Obrigado Jose pela visita ao blog, grande abraço.

  30. Miecislau Dolata Says:

    Divina Proporção e seu Divino Criador,cujo nome ignifica:Ele causa que venha ser.Devemos procurar no livro bíblico de Salmos 83:18 que,cita seu belo nome e afirma que somente Ele é o Altíssimo sobre toda a terra.Que cada um conheça esse único nome no Universo.Então,alegremente corramos as Bíblias e quem não tiver uma,poderá pesquisar no site JW.ORG

  31. Miecislau Dolata Says:

    Jeová Deus é o Criador dessa maravilhosa Divina Proporção;Único Deus, Isaías 43:10 e o Altíssimo sobre toda a terra,Salmos 83:18.

  32. Obrigado por visitar o blog Miecislau ! grande abraço

  33. Obrigado por visitar o blog Miecislau ! grande abraço

  34. Obrigado por visitar o blog.

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